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定理

任意の自然数 $n$ に対して $( \sum^n_{i} i )^2 = \sum^n_{i} i^3$ である

(proof) 数学的帰納法による。

($n=0$の場合) LHS = 0, RHS = 0

($n-1$で成立するとして$n$の場合)

$$ \begin{array}{rcl} (\sum^n_i i)^2 & = & (\sum^{n-1}_i i + n)^2 \\ & = & (\sum^{n-1}_i i)^2 + 2n\sum^n_i i + n^2 \\ & = & \sum^{n-1}_i i^3 + 2n\frac{n(n-1)}{2} + n^2 \\ & = & \sum^{n-1}_i i^3 + n^3 - n^2 + n^2 \\ & = & \sum^n_i i^3 \end{array} $$

シュワルツ不等式

計量ベクトル空間(内積空間)のベクトル$a, b$について、内積$(\quad,\quad)$から誘導される標準的ノルム$\|\ \|$は……

$$ | (a, b) | \leq \| a \| \| b \| $$

である。ただし等号が成り立つのはスカラー$k$によって $a = kb$ または $b = ka$と表せるとき、またその時に限る。

(proof)

$b = 0$ のとき:

$LHS = (a, 0) = 0(a, 0) = 0$

$RHS = \| a \| \| 0 \| = 0$

$b \neq 0$ のとき:

$k = (a, b) / | b |^2$ と置く。

$$ | a - kb | = | a |^2 - 2k(a, b) + k^2 | b |^2 = | a |^2 - 2(a, b)^2 / | b |^2 + (a, b)^2 / | b |^2 = | a |^2 - (a, b)^2 / | b |^2 \geq 0 $$

となるため、

$| a |^2 \geq (a, b)^2 / | b |^2$

よって

$| a |^2 | b |^2 \geq (a, b)^2$

$| a | | b | \geq |(a, b)|$

ここで $| a | | b | = |(a, b)|$ なら推論を逆にたどれて結局 $| a - kb | = 0$ となる。よって $a = kb$

(計量ベクトル空間の標準的内積の)余弦定理

$$ \begin{array}{rcl} \| a - b \|^2 & = & \sqrt{ (a-b, a-b) }^2 \\ & = & (a-b, a-b) \\ & = & (a,a-b) + (-b, a-b) \\ & = & (a,a) + (a,-b) + (-b, a) + (-b, -b) \\ & = & (a,a) - (a,b) - (b, a) + (b, b) \\ & = & (a,a) - (a,b) - (a, b) + (b, b) \\ & = & | a | - 2(a,b) + | b | \end{array} $$

ここでは内積の多重線型性がよく効いている。

(ユークリッド幾何学における)余弦定理

三角形 $ABC$ について、 $AB$ のなす角が $\theta$ とする。(なす角の定義より $0 \leq \theta \leq \pi$) 頂点 $A$ から $BC$ (またはその延長線上に)垂線を降ろし、この点を$H$と呼ぶ。

($0 \leq \theta \leq \pi / 2$ のとき):

すると $\overline{BH} = \overline{AB} \cos \theta$ なので $\overline{HC} = \overline{BC} - \overline{AB} \cos \theta$

また $\overline{AH} = \overline{AB} \sin \theta$

$\cos, \sin$の定義から $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$

これらから

$$ \begin{array}{rcl} \overline{CA}^2 & = & \overline{HC}^2 + \overline{AH}^2 \\ & = & (\overline{BC} - \overline{AB} \cos \theta)^2 + (\overline{AB} \sin \theta)^2 \\ & = & \overline{BC}^2 - 2 \overline{AB} \overline{BC} \cos \theta + \overline{AB}^2 \cos^2 \theta + \overline{AB}^2 \sin^2 \theta \\ & = & \overline{AB}^2( \cos^2 \theta + \sin^2 \theta ) - 2 \overline{AB} \overline{BC} \cos \theta + \overline{BC}^2 \\ & = & \overline{AB}^2 - 2 \overline{AB} \overline{BC} \cos \theta + \overline{BC}^2 \end{array} $$

($\pi/2 \leq \theta \leq \pi$ のとき):

上記と似たような物で、途中の注意点としては $\sin(\pi - \theta) = \sin(\theta)$ と $\cos(\pi - \theta) = - \cos(\theta)$ であること。

ところでユークリッド幾何のどこら辺に多重線型性が根本的にあるんだっけ???

正の実数の有限積同士の順序

$ (\forall i. 0 < a_i < b_i) \Rightarrow \prod^n_{i=0} a_i < \prod^n_{i=0} b_i $

理由を思い出せなくて詰まるので。

(proof)

$n$についての帰納法による。

base case: $P(0)$

$a_0 < b_0$ なので自明。

ind step: $P(n-1) \Rightarrow P(n)$

帰納法の仮定より $\prod^{n-1}_{i=0} a_i < \prod^{n-1}_{i=0} b_i$

$0 < a_n$ なので、実数の公理から $a_n \prod^{n-1}_{i=0} a_i < a_n \prod^{n-1}_{i=0} b_i$

また仮定より $a_n < b_n$ なので、 $a_n \prod^{n-1}_{i=0} b_i < a_n \prod^{n-1}_{i=0} b_i$

よって推移性により $a_n \prod^{n-1}_{i=0} a_i < a_n \prod^{n-1}_{i=0} b_i$

したがって $\prod^{n}_{i=0} a_i < \prod^{n}_{i=0} b_i$

積の微分法: ライプニッツルール

$ (fg)' = f'g + fg' $

微分にとって基本的な法則。

(proof)

導関数の定義による。

$$ \begin{array}{rcl} (fg)'(x) & = & \lim_{h \to 0} \dfrac{(fg)(x+h) + (fg)(x)}{h} \\ & = & \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)g(x+h) + f(x)g(x)}{h} \\ & = & \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)g(x+h) + g(x+h)f(x) - g(x+h)f(x) + f(x)g(x)}{h} \\ & = & \lim_{h \to 0} \dfrac{ (f(x+h) - f(x))g(x+h) + f(x)(g(x+h) - g(x))}{h} \\ & = & \lim_{h \to 0} g(x+h) \dfrac{ (f(x+h) - f(x)) }{h} + \lim_{h \to 0} f(x) \dfrac{ (g(x+h) - g(x))}{h} \\ & = & g(x)f'(x) + f(x)g'(x) \\ & = & (gf' + fg')(x) \end{array} $$

ちなみに $n$ 個の関数の積で同じことができる。たとえば3次。

$ (fgh)' = ((fg)h)' = (fg)'h + (fg)h' = f'gh + fg'h + fgh' $