全てが $\mathbb{R}$ になる

$\epsilon - N$ による数列の収束で、ある実数を定める。 この定義自体はいいのだけれど「なんとも言い難い微妙な疑問」を感じて止まっていた。 しかしこの「なんとも言い難い微妙な疑問」は口にするのがなかなか難しかった。そのためなかなか解決することができないでいた。

この疑問に最近やっと納得のいく答えが得られた。 それと同時に「何が疑問だったのか」ということもわかるようになった。 これを書いておきたい。

「何もかもが収束することはないのか」という感覚

実は疑問の正体は「何もかもが収束することにならないか」ということだった。 もちろんそんなことはない。と直感はいう。 だから立場として「必ずしも収束するとは限らないように収束列の定義を定めたい」と思っていた。

この部分で疑問を感じていたわけだ。

まず $\{ q_n \in \mathbb{Q} \}_{n=1,2,\cdots}$ に対する $\epsilon - N$ 論法を $\mathbb{Q}$ の上で用いると以下のような命題になる

$$\forall \epsilon \in \mathbb{Q}. \epsilon > 0. \exists \hat{n} \in \mathbb{N}. \forall n \geq \hat{n}. | a_n - a | < \epsilon $$

今、自分たちは実数体 $\mathbb{R}$ の構成を持っていない立場である。 するとこの命題は このように数列 $a_n$ の収束先 $a$ が 存在するように 実数体 $\mathbb{R}$ を定めよ というように見える。

しかし収束するか、収束しないかの判定と言う意味では、これは本当に最悪である。 なぜなら収束先は必ず存在する。それは $\mathbb{R}$ の元なのだ!(そんな数が矛盾なく成立するかはわからない。多分矛盾するだろうという感覚はあるし、それも1つ「わからないな」と感じる原因だった)

これでは、全てが$\mathbb{R}$になる。

実際

だが実は実数は有理数列2つの差がコーシー列を成すかを中心に組み立てている。 つまり任意の有理数列 ${q_i}, {p_i}$ 2つの間に $lim_{i \to \infty}(q_i - p_i) = 0$ なる関係があれば、このような ${q_i}, {p_i}$ は同値であるとする。 この同値関係に伴う同値類を作り、この商集合こそが実数であるとして構成している。(つまり完備化している)

これがわかってしまえば、何を疑問に感じていたのかというもので、あとは深い納得だけだった。