$\lim_{n \to \infty} 1/n = 0$ であること。

極限の証明で一番最初のほうに出てくるであろう $\lim_{n \to \infty} 1/n = 0$ なんだけど、 これはアルキメデス性から出てくる。

まず最初に $a_n = 1/n$ が単調減少であることを証明しよう。

$a_n = 1/n$ は単調減少。

(proof)

今 $n$ を自然数とすると、 $n < n + 1$

したがって逆数を考えると $a_n = \frac{1}{n} > \frac{1}{n+1} = a_{n+1}$ である。

したがって $a_n$ は単調減少。□

これがあるので。。。

$\lim_{n \to \infty} 1/n = 0$

(proof)

$\epsilon > 0$ とする。

この時、実数の順序の公理より $1 / \epsilon > 0$

また $1 > 0$

したがってアルキメデス性より、ある $n_0$ があって、 $ (1 / \epsilon) 1 < (n_0) 1 $

積の単位元の存在により $1 / \epsilon < n_0$

逆数を取ると実数の順序の性質より $ \epsilon > (1 / n_0) = a_n $ となる。

ここで$a_n$ の単調性より$a_{n_0} > a_n$なので、 $n_0 < n$ なる $n$ について、 $\epsilon > a_{n_0} > a_n$

また $0 < a_n + 0 < \epsilon$ なので結局

$\forall \epsilon > 0. \exists n_0. \forall n \geq n_0 . | a_n - 0 | < \epsilon$

したがって $\lim_{n \to \infty} 1/n = 0$ □