有理数の最遅$0$収束列で素数列を冪した結果

有理数の最遅$0$収束列$\{q_i\}$で、素数列 $\{P_i\}$ に対して $\{P_i^{q_i}\}$という素数の有理数冪の数列を作った時、これは収束しない。

(証明)

どんな適当な$n$を取っても、有理数の最遅$0$収束列は、 $i \gt n, j \gt n( i \lt j )$になる$i, j$で$q_i = q_j (= q)$になるものを見つけ続けることができる。 さらに $n$ を自由に選んでよいことから $P_i \lt P_j$ の差 $P_j - P_i$ は際限なく大きくできるため そのためどんな $\epsilon$ に対しても $|P_i^{q} - P_j^{q}| \geq \epsilon$ となるような$i, j$のペアが常にある。 そうするとこの数列 $\{ P_i^{q_i} \}$ はコーシー列ではないということになるため、収束列ではない□

……あってるかなぁ?(コーシー列は勉強したてなので間違えているかもしれない)

ところで最遅$0$収束列自体は、実際には$0$に収束してない可能性があって、 ($0$に収束する数列の集合の$\max$ではなくて、$\sup$として定義されてるはずの概念であるため) この証明だけじゃ、もともと知りたかった$0$に収束する適当な数列についての話とは異なるんですよね。困った。

一方で任意の本当に$0$に収束する数列は、$i, j$を見つけ続けることはできないはずで、 そうするとまた話が怪しくなってくるんだけれど、どうとらえるといいのか……。


メモ: 正有理「非同値」$0$収束列という概念を使うほうが筋がいい気がしてきた。 ここで正有理非同値$0$収束列は、正の有理数で出来た無限数列で、有限の$n$以降、数列に同じ値が0以外に二度と出ない数列。 あと任意の$\mathbb{N}$の無限部分集合$A$について$f(a) = |\{n \in A | n < a \}|$を考えると$A$から$\mathbb{N}$への全単射。 だから素数列は自然数と同濃度。あと有理数も同濃度。正の有理数も同濃度。これを正有理非同値$0$収束列に使えば……。


追記1: そもそもこの数列はWell-definedじゃないのだ、という話はありますよね。