形式的冪級数環と多項式と係数体に関する最遅0収束列

この記事は本当にただのメモなんだけれど、忘れそうだったので。

多項式というのは、係数体で構成された有限の数列$a_1, a_2, \cdots, a_n$を使って $$f(x) = \sum^n_i a_i x^i$$ と表せるような式のこと

形式的冪級数環は、この係数体の列が無限数列$\{ a_i \}_{i = 1,2,\cdots }$で、 $$f(x) = \sum^{\infty}_i a_i x^i$$ と表せるような式のこと。

形式的冪級数環に対して、ある$n$があって、 それ以上の$i$すべてで$a_i = 0$なら、それは多項式。 これは係数体が0に収束する数列だ、というのと似ていますが、若干の違いがあります。 それは$\epsilon$の差であって、稠密性の差といえるかもしれないです。

一方で係数体の最遅0収束列が常に有限数列であるような場合、 つまり自然数や整数を係数体(体じゃないけど)に選んでいれば、 形式的冪級数環と多項式が一致する条件は係数の数列が0に収束することだ、ということになります。

つまり形式的冪級数環のもつ特別の構造と、 こないだ作った最遅0収束列という概念は案外近いところにあるんじゃないかというメモ。

(まともな数学を勉強した人にはもっとまともな視点で見えてることなんだろうけれど、独自に勉強してるのでこんな具合(◞‸◟))