基本的な疑問

これもわかってる人にはすぐわかることなのかもしれないのけれど。

今実数のある点$s \in \mathbb{R}$を考えてみましょう。 $s$に収束する数列$\{a_i\}$の極限値を語るときに、 $s$の値と、その数列の値を引き算した値$s - a_i$が、どんな小さな値$\epsilon$よりも小さい(小さくなる)ことを使います。 しかしよく考えてみるとこれは$s$の周りでの近づき方の様子と$0$の周りの数値$\epsilon$が同じくらい小さな差を扱えることが必要です。

少し考えてみてください。なぜこれが使えるんでしょうか?

実数が差と積に閉じている(体)だからです。つまり $$(s - \epsilon) - s$$ が閉じていて、この値$-\epsilon$が存在することがまずわかることと、 $$-(-\epsilon) = \epsilon$$ なので$\epsilon$がやっぱり存在することがわかることがあって、こういう議論ができる。

なのでこういう定式化で極限値を作っている限りは、 極限値を扱う上で、そもそも体であることが基本的な性質になってるんですね。