$\max$演算についての簡単な定理

たぶんわかってる人的には当たり前の話なんだけれども、$\max$ 演算の定義から以下の定理を出したいとします。

$$\max(a,b,c,d) = \max(\max(a,b), \max(c,d))$$

最初にこれを出した時には、W.L.O.G.で$a \geq b \geq c \geq d$として 結局その時$a$が出ることを使いました。けれどこれよりも

$$\max(\max(a,b), \max(c,d)) \geq \max(a,b) \geq a$$ $$\max(\max(a,b), \max(c,d)) \geq \max(a,b) \geq b$$ $$\max(\max(a,b), \max(c,d)) \geq \max(c,d) \geq c$$ $$\max(\max(a,b), \max(c,d)) \geq \max(c,d) \geq d$$

から、結局右辺は$a,b,c,d$の最大値に他ならないことを言って出すという手があって、こっちのが綺麗。 (ただしこの場合も右辺は$a,b,c,d$の何れかの値しかとらないということは言わないといけない)

この方法はかなり見通しがよくて、$\max$の意味や、 その繰り返し構造との関係を示唆してくれるのがいい。

特に証明の中から余計な情報がカットされることで 本質的には$\max$というのは 引数で指定された集合の中で閉じているということに依存した演算の構造 を持ってるぞ。というのは一番いいポイントかもなあと思う。

そういうメモ。