$0$に収束する最も遅い数列

(もってる疑問メモ)

とりあえず今集合$A$を考えて、この集合の元だけを使って作れるすべての数列について考えてみます。 たとえば自然数の集合$\mathbb{N}$の元だけを使って作った集合 $\{ n_i | n_i \in \mathbb{N} \}_{i=1,2,3,...}$ です。

こういうのを元を取ってきた集合$A$を使って $\{A_i\}$ と書くことにしましょう。

そしてそういう数列で、特に$0$に収束しているものだけを考えてみます。

$$\lim \{A_i\} = 0$$

こういう数列は自然数、整数では、どんなことがあっても有限数列になります。 (つまりある$n$があって、その$n$以降の$n_i$が厳密に$0$を無限回とり続けます。)

証明. ($0$への)収束性の定義は、どんなnに対しても $\epsilon$ を適当に選びさえすれば $i \geq n$ で $ |A_i - 0| \lt \epsilon $ ($\epsilon$近傍) になることだった。 今$0$に収束しているので、$\epsilon = 1/3$ を選べば、$1$も$-1$ も$0$の近傍で含まれなくなる $n$ が存在することがわかる。したがって有限の列を除いて $0$ □

一方で有理数・実数ではこのような性質は、どうも成り立たないのかなと思っています。稠密性があるからです。 そうするとその数列における$0$に収束する一番遅い数列がどんな数列なのか、ということが気になってきますが……。

直観的には実数よりも有理数は早いはずなのですが、カントール先生が笑うようなことがあるかもしれない。さて、わっからないなー。